Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与矩形AOBC的边AC、BC分别交于点E，F，E（3，4），且F（8，）为抛物线的顶点，将△CEF沿着EF翻折，点C恰好落在边OB上的点D处．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P为线段ED上一动点，连接PF，当PF平分∠EFD时，求PD的长度；

（3）四边形AODE以1个单位/秒的速度沿着x轴向右运动，当点E与点C重合时停止运动，设运动时间为t秒，运动后的四边形A′O′D′E′与△DEF重合部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）y=（x-8）2+；（2）PD=；（3）S=

【解析】

（1）设抛物线解析式为，把E（3，4）代入求出a=即可；

（2）由折叠的性质得：DF=CF，∠EDF=∠C=90°，DE=CE=5，作EG⊥OB于G，则EG=OA=4，OG=AE=3，由勾股定理得出，得出BD=2，设DF=CF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程得出DF=CF=，由勾股定理求出，作PH⊥EF于H，由角平分线性质得出PH=PD，证出△PEH∽△FED，得出，即可得出结果；

（3）分三种情况：当0≤t≤3时，此时重合部分为一个梯形；当时，此时D′E′与DF的交点仍然在线段DF上，重合部分为一个梯形面积减去一个三角形的面积；当时，重合部分为△DEF的面积减去一个三角形的面积．

解：（1）∵F（8，）为抛物线的顶点，

∴设抛物线解析式为y=a（x-8）2+，把E（3，4）代入得：a（3-8）2+=4，解得：a=，

∴该抛物线的解析式为：y=（x-8）2+；

（2）∵四边形AOBC是矩形，

∴OB=AC=8，OA=BC=4，∠OBC=∠C=90°，

∵AE=3，∴CE=5，

由折叠的性质得：DF=CF，∠EDF=∠C=90°，DE=CE=5，

作EG⊥OB于G，则EG=OA=4，OG=AE=3，

∴DG==3，

∴BD=OB-OG-DG=2，

设DF=CF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：

22+（4-x）2=x2，解得：x=，

∴DF=CF=，∴EF===，

作PH⊥EF于H，

又∵PF平分∠EFD，∠PDF=90°，

∴PH=PD，

∵∠PHE=∠EDF=90°，∠PEH=∠FED，

∴△PEH∽△FED，

∴=，即=，解得：PH=，∴PD=；

（3）分三种情况：如图所示：

①当0≤t≤3时，DD'=EE'=t，由（2）知，∠EDF=90°，由平移可知，D'E’⊥DF，

∴cos∠FDB===

∴DM=，

设D'E'交EF于点M和点N，过点N作NQ⊥DE于点Q，则NQ=DM=，

∵，

∴，

∴EQ=，MN=DQ=5-，

∴S=（5-+5）÷2=+4t；

②当3＜t＜时，D'E’与EF的交点在点F左侧，可知需要用梯形面积减去左边一个小三角形的面积，类比①可得：

S=+4t-（）=

③当时，S=-（）=-+10

故S与t的函数关系式为：

S=