Question

如果自然数x_i满足x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₁x₂x₃x₄x₅，求x₅的最大值．

Answer 1

分析：根据题意可知：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅都是正整数，所以可设1≤x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，再分别从除了x₅其他全是1，至少有2个数大于等于2，至少有3个数大于等于2，去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵自然数x_i满足x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₁x₂x₃x₄x₅，
∴x₁，x₂，x₃，x₄，x₅都是正整数，
不妨设1≤x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，
若除了x₅其他全是1，
∴则4+x₅=x₅，∴不可；
∴至少有2个数大于等于2，
若只有2个数大于等于2，则3+x₄+x₅=x₄x₅，
即（x₄-1）（x₅-1）=3，
∴x₅=4 x₄=2，
验证，不可；
∴至少有3个数大于等于2，
若3个数大于等于2中有2个等于2，则1+1+2+2+x₅=4x₅，
∴x₅=2，∴不可；
∴至少有3个数大于等于2，3个数大于等于2中只有1个等于2，那么至少还有一个大于等于3，
若x₅≥6，
∴x₁x₂x₃x₄x₅≥1×1×2×3×6≥36，
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤5×6=30，矛盾，
∴x₅≤5，其次x₁=1，x₂=1，x₃=1，x₄=2，x₅=5，成立．
∴x₅的最大值为5．

点评：此题考查了自然数的应用．解题的关键是利用分类讨论思想求解．