Question

7．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A₁B₁C₁D₁；顺次连结四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，可得四边形A₂B₂C₂D₂；顺次连结四边形A₂B₂C₂D₂各边中点，可得四边形A₃B₃C₃D₃；按此规律继续下去…．则四边形A₂B₂C₂D₂的周长是20；四边形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的周长$\frac{5+5\sqrt{3}}{{2}^{1006}}$．

Answer 1

分析 根据菱形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长，得出规律求出即可．

解答 解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA₁D₁是等边三角形，四边形A₂B₂C₂D₂是菱形，
∴A₁D₁=5，C₁D₁=$\frac{1}{2}$AC=5$\sqrt{3}$，A₂B₂=C₂D₂=C₂B₂=A₂D₂=5，
∴四边形A₂B₂C₂D₂的周长是：5×4=20，
同理可得出：A₃D₃=5×$\frac{1}{2}$，C₃D₃=$\frac{1}{2}$C₁D₁=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{3}$，
A₅D₅=5×（$\frac{1}{2}$）²，C₅D₅=$\frac{1}{2}$C₃D₃=（$\frac{1}{2}$）²×5$\sqrt{3}$，
…
∴四边形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的周长是：$\frac{5+5\sqrt{3}}{{2}^{1006}}$
故答案为：20；$\frac{5+5\sqrt{3}}{{2}^{1006}}$．

点评 此题主要考查了菱形的性质，矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键．