Question

1．阅读下面材料：
数学课上，老师让同学们解答课本中的习题：如图1，在四边形ABCD中，E、F、
G、H分别是各边的中点，猜想四边形EFGH的形状并证明自己的猜想．
小丽在思考问题时，有如下思路：连接AC

结合小丽的思路作答：
（1）若只改变图1中的四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由
参考小丽思考问题方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC、BD
①当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形．写出结论并证明．
②当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方形．直接写出结论

Answer 1

分析 （1）结论：四边形EFGH还是平行四边形．只要证明EF=GH，EF∥GH即可；
（2）①利用（1）的结论，只要证明EF=EH即可；
②在①基础上，只要证明∠EHG=90°即可；

解答 解：（1）结论：四边形EFGH还是平行四边形．                         
理由：如图2，连接AC．

∵E、F分别是AB、CB中点
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理：GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．        

（2）①结论：当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．
理由：如图3中，由（1）四边形EFGH是平行四边形

∵E、F是AB、CB中点
∴EF=$\frac{1}{2}$AC                                       
同理：EH=$\frac{1}{2}$BD
∵AC=BD
∴EF=EH
∴平行四边形EFGH是菱形．    

②结论：当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．
理由：由①可知，AC=BD，四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，AC∥HG，
∴HG⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EH⊥HG，
∴∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH是正方形．

点评 本题考查四边形综合题、三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．