Question

【题目】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形．

观察发现：如图1，对垂四边形ABCD四边存在数量为： AD2+BC2＝AB2+CD2．

应用发现：如图2，若AE，BD是△ABC的中线，AE⊥BD，垂足为O，AC=4，BC=6，求AB=

应用知识：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝，AB＝求GE长．

拓展应用：如图4，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=4，AB=3，求AF的长

Answer 1

【答案】应用发现：；应用知识：3；拓展应用：

【解析】

应用发现：连接DE，构成对垂四边形，再根据对垂四边形ABCD四边存在数量关系进行计算即可；

应用知识：先证明CE⊥BG得到四边形CGEB是对垂四边形，再根据结论进行计算即可；

拓展应用：连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，连接PH，先证明四边形APHE是对垂四边形和EP、AH是△AFE的中线，再根据对垂四边形的性质求得AP的长度，从而求得AF的长度．

应用发现：

连接DE，如图所示：

∵AE，BD是△ABC的中线，AC=4，BC=6，

∴AD=2，BE=3，DE=，

∵AE⊥BD，垂足为O，

∴四边形ABED是对垂四边形，

∴AB2+DE2=AD2+BE2，

∴AB2+=22+32，

∴AB=；

应用知识：

连接CG、BE，如图所示：

∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是对垂四边形，

∴CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC＝，AB＝，

∴BC=1，CG=，BE=，

∴22+=12+GE2，

∴GE=3；

拓展应用：

（3）如图，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，连接PH，

∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，

∴四边形APHE是对垂四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=AD，BF=BC，
∴AE=BFAD=2，
又∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=3，AP=PF，

∴EP分别是△AFE的中线，
在△AEH和△CFH中，
，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴EH=FH，
∴AH分别是△AFE的中线，

∴PH=，EH=，

∵四边形APHE是对垂四边形，

∴PH2+AE2=EH2+AP2，

∴12+22=+AP2，

∴AP=，

又∵EP分别是△AFE的中线，

∴AF=2AP=．