Question

如图1，点A、B、D共线，点C、B、F共线，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线与∠ABE的角平分线交与点F，DE∥CF．
（1）若∠D=95°，求∠F的度数；
（2）如图2，若作∠BDE的角平分线交BF的延长线于点M，交CF延长线于点G，探究∠CGD、∠BFC之间的数量关系并写出理由；
（3）如图3，若FB、ED的延长线于点P，设∠P=α，请直接用含有α的代数式表示∠ABC，∠ABC=

90°-2α

．

Answer 1

分析：（1）先根据角平分线的定义得∠EBF=

1

2

∠ABE，∠BCF=∠ACN=45°，再根据三角形外角性质得∠EBF=∠BFC+45°，∠ABE=∠A+90°，易得∠BFC=

1

2

∠A，
由DE∥CF，根据平行线的性质得∠BNC=∠D=95°，再次根据三角形外角性质得∠BNC=∠A+∠ACN，可计算出∠A=50°，于是得到∠BFC=25°；
（2）由DG平分∠BDE得∠GDE=∠GDA，由CG∥DE得∠GDE=∠CGD，则∠GDA=∠CGD，根据三角形内角和定理得∠GDA+∠CGD=∠A+∠ACF，则2∠CGD=2∠BFC+45°，所以∠CGD-∠BFC=22.5°；
（3）由（1）得∠F=

1

2

∠A，再由CG∥DE得∠P=∠F，则∠A=2∠P=2α，然后根据三角形内角和定理即可得到∠ABC=90°-2α．

解答：解：（1）∵∠ACB的角平分线与∠ABE的角平分线交与点F，而∠ACB=90°，
∴∠EBF=

1

2

∠ABE，∠BCF=∠ACN=45°，
∵∠EBF=∠BFC+45°，∠ABE=∠A+90°，
∴∠BFC+45°=

1

2

（∠A+90°），
∴∠BFC=

1

2

∠A，
∵DE∥CF，
∴∠BNC=∠D=95°，
而∠BNC=∠A+∠ACN，
∴∠A+45°=95°，
∴∠A=50°，
∴∠BFC=

1

2

∠A=25°；

（2）∠CGD-∠BFC=22.5°．理由如下：
∵DG平分∠BDE，
∴∠GDE=∠GDA，
∵CG∥DE，
∴∠GDE=∠CGD，
∴∠GDA=∠CGD，
∵∠GDA+∠CGD=∠A+∠ACF=∠A+45°，
∴2∠CGD=2∠BFC+45°，
∴∠CGD-∠BFC=22.5°；

（3）∵CG∥DE，
∴∠P=∠F，
∵∠F=

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2

∠A，
∴∠A=2∠P=2α，
∴∠ABC=90°-∠A=90°-2α．
故答案为90°-2α．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了平行线的性质和三角形外角性质．