分析 (1)把三个点坐标代入函数解析式中就可以求解;
(2)先通过B、C点坐标求出线段BC的解析式,则可利用点P与点E的坐标将PE的长表示出来,通过作垂线找到EC与E点横坐标的关系,利用EC=EP得到一元二次方程,从而解出点的坐标.
解答 (1)解:∵点C(0,8)ZA在抛物线y=ax2+bx+c上,
∴c=8
又∵A(-2,0),B(6,0)在抛物线y=ax2+bx+8上,
把(-2,0),(6,0)代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b+8}\\{0=36a+6b+8}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$
∴抛物线的表达式为:y=$-\frac{2}{3}x$2+$\frac{8}{3}x+8$
(2)证明:∵E和F关于直线PC对称
∴∠FCP=∠ECP
∵EC=EP
∴∠EPC=∠ECP
∴∠FCP=∠EPC
∴PE∥y轴
设线段BC的解析式为y=kx+b,把B(6,0),C(0,8)代入得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$
∴线段BC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8(0≤x≤6)
设P(x,-$\frac{2}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+8)则E(x,-$\frac{4}{3}$x+8)
∴PE的距离为(-$\frac{2}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+8)-(-$\frac{4}{3}$x+8)=-$\frac{2}{3}$x2+4x
过点E作EG⊥y轴于点,
∴GE∥OB∴$\frac{GE}{CE}=\frac{OB}{CB}=\frac{3}{5}$
∴CE=$\frac{5}{3}$EG 即CE=$\frac{5}{3}$x
由PE=EC得$-\frac{2}{3}$x2+4x=$\frac{5}{3}$x
解得:x1=$\frac{7}{2}$ x2=0(舍去),
此时点P到x轴的距离为$\frac{55}{6}$
∴点P的坐标为($\frac{7}{2},\frac{55}{6}$)
点评 本题重点考察了待定系数法求二次函数及一次函数解析式,会用抛物线及一次函数上的点坐标来表示线段的长度是解决第二问的关键.解析式中带有分数,对学生运算能力有一定要求.
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