Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴交于点C（0，8），与x轴交于A，B两点，其中A（-2，0），B（6，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若E是线段BC上一点，P是抛物线（在第一象限内的）上一点，EC=EP，且点E关于直线PC的对称点F在y轴上，求证：PE平行于y轴，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把三个点坐标代入函数解析式中就可以求解；
（2）先通过B、C点坐标求出线段BC的解析式，则可利用点P与点E的坐标将PE的长表示出来，通过作垂线找到EC与E点横坐标的关系，利用EC=EP得到一元二次方程，从而解出点的坐标．

解答 （1）解：∵点C（0，8）ZA在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴c=8
又∵A（-2，0），B（6，0）在抛物线y=ax²+bx+8上，
把（-2，0），（6，0）代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b+8}\\{0=36a+6b+8}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$
∴抛物线的表达式为：y=$-\frac{2}{3}x$²+$\frac{8}{3}x+8$
（2）证明：∵E和F关于直线PC对称
∴∠FCP=∠ECP
∵EC=EP
∴∠EPC=∠ECP
∴∠FCP=∠EPC
∴PE∥y轴
设线段BC的解析式为y=kx+b，把B（6，0），C（0，8）代入得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$
∴线段BC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8（0≤x≤6）
设P（x，-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+8）则E（x，-$\frac{4}{3}$x+8）
∴PE的距离为（-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+8）-（-$\frac{4}{3}$x+8）=-$\frac{2}{3}$x²+4x                                                                        
过点E作EG⊥y轴于点，

∴GE∥OB∴$\frac{GE}{CE}=\frac{OB}{CB}=\frac{3}{5}$
∴CE=$\frac{5}{3}$EG  即CE=$\frac{5}{3}$x
由PE=EC得$-\frac{2}{3}$x²+4x=$\frac{5}{3}$x  
解得：x₁=$\frac{7}{2}$  x₂=0（舍去），
此时点P到x轴的距离为$\frac{55}{6}$
∴点P的坐标为（$\frac{7}{2}，\frac{55}{6}$）

点评 本题重点考察了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，会用抛物线及一次函数上的点坐标来表示线段的长度是解决第二问的关键．解析式中带有分数，对学生运算能力有一定要求．