Question

如图1，l₁，l₂，l₃，l₄是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l₃于点F，交l₂于点H，过点C作CE⊥l₂于点E，交l₃于点G．

（1）求证：△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面积；

（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h₁，h₂，h₃，试用h₁，h₂，h₃

表示正方形ABCD的面积S．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，

∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。

（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。

又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。

同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。

∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}=4××2×1+1+1=5。

（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h₁=h₃，

由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，

∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}=4×（h₁+h₂）•h₁+h₂²=2h₁²+2h₁h₂+h₂²．

【解析】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。

【分析】（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。

（2）由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}即可得出结论。

（3）由△AFD≌△CEB可得出h₁=h₃，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知

S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}，从而得出结论。