Question

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．
（1）用含有x的代数式表示BF的长．
（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．
（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．
[参考公式：二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标为（-，）]．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等式BF=AF-AB=2AE-AB=2DE-AB=2BC-AB，用含x的代数式表示BF的长；
（2）根据等量关系“S=S_△DEF-S_△GBF”列出S与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和x的取值范围求S的最大值．
解答：解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30，
∴BF=2x-30．

（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°．
∴BG=BF=2x-30，
∴S=
=
=．

（3）S=．
∵，15＜20＜30，
∴当x=20时，S有最大值，最大值为150
点评：本题考查的是函数关系式的求法以及求最大值的问题，但需注意自变量的变化范围．