Question

【题目】如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相问，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1、2、3、2、1，从个位到最高位依次出的一串数字仍是：1、2、3、2、1，因此12321是一个“和谐数”.再如22、545、3883、345543、…，都是“和谐数”.

(1)请你直接写出3个四位“和谐数”：_________________________________；

(2)设四位“和谐数”个位上的数字为a，十位上的数字为b，请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除?并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）1221,1331,2552；（2）能；理由见详解.

【解析】

（1）根据题目条件给出的和谐数的定义，注意数字的大小排列顺序，即可写出四位的和谐数，本题答案不唯一；

（2）用十进制将这个和谐数用a和b表示为，可以化简为，结合a,b都是自然数，可以得到能被11整除.

（1）四位“和谐数”：1221,1331,2552；

（2）猜想：任意一个四位“和谐数”都能被11整除.

理由如下：

由题意可得：这个四位“和谐数”可表示为，则：

四位“和谐数”能被11整除，

a,b均为任意自然数，

任意四位“和谐数”都可以被11整除.