【题目】如图,在ABCD中,AC,BD交于点O,且AO=BO.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)∠ADB的角平分线DE交AB于点E,当AD=3,tan∠CAB=时,求AE的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由平行四边形性质和已知条件得出AC=BD,即可得出结论;
(2)过点E作EG⊥BD于点G,由角平分线的性质得出EG=EA.由三角函数定义得出AB=4,sin∠CAB=sin∠ABD=,设AE=EG=x,则BE=4﹣x,在Rt△BEG中,由三角函数定义得出,即可得出答案.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2AO,BD=2BO.
∵AO=BO,
∴AC=BD.
∴平行四边形ABCD为矩形.
(2)过点E作EG⊥BD于点G,如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴EA⊥AD,
∵DE为∠ADB的角平分线,
∴EG=EA.
∵AO=BO,
∴∠CAB=∠ABD.
∵AD=3,tan∠CAB=,
∴tan∠CAB=tan∠ABD==.
∴AB=4.
∴BD=,sin∠CAB=sin∠ABD=.
设AE=EG=x,则BE=4﹣x,
在△BEG中,∠BGE=90°,
∴sin∠ABD=.
解得:x=,
∴AE=.
故答案为:.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC边的中点,以AD为直径作⊙O,分别与AB,AC交于点E,F,过点E作EG⊥BC于G.
(1)求证:EG是⊙O的切线;
(2)若AF=6,⊙O的半径为5,求BE的长.
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【题目】已知C为线段AB中点,∠ACM=α.Q为线段BC上一动点(不与点B重合),点P在射线CM上,连接PA,PQ,记BQ=kCP.
(1)若α=60°,k=1,
①如图1,当Q为BC中点时,求∠PAC的度数;
②直接写出PA、PQ的数量关系;
(2)如图2,当α=45°时.探究是否存在常数k,使得②中的结论仍成立?若存在,写出k的值并证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】下面是小方设计的“作一个30°角”的尺规作图过程.
已知:直线AB及直线AB外一点P.
求作:直线AB上一点C,使得∠PCB=30°.
作法:
①在直线AB上取一点M;
②以点P为圆心,PM为半径画弧,与直线AB交于点M、N;
③分别以M、N为圆心,PM为半径画弧,在直线AB下方两弧交于点Q.
④连接PQ,交AB于点O.
⑤以点P为圆心,PQ为半径画弧,交直线AB于点C且点C在点O的左侧.则∠PCB就是所求作的角.
根据小方设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵PM=PN=QM=QN,
∴四边形PMQN是 .
∴PQ⊥MN,PQ=2PO( ).(填写推理依据)
∵在Rt△POC中,sin∠PCB== (填写数值)
∴∠PCB=30°.
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【题目】如图1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点M为BC中点.点P为AB边上一动点,点D为BC边上一动点,连接DP,以点P为旋转中心,将线段PD逆时针旋转90°,得到线段PE,连接EC.
(1)当点P与点A重合时,如图2.
①根据题意在图2中完成作图;
②判断EC与BC的位置关系并证明.
(2)连接EM,写出一个BP的值,使得对于任意的点D总有EM=EC,并证明.
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【题目】已知∠AOB=120°,点P为射线OA上一动点(不与点O重合),点C为∠AOB内部一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,且点Q恰好落在射线OB上,不与点O重合.
(1)依据题意补全图1;
(2)用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系,并证明;
(3)连接OC,写出一个OC的值,使得对于任意点P,总有OP+OQ=4,并证明.
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【题目】如图,在中, .在同一平面内,内部一点到的距离都等于(为常数),到点的距离等于的所有点组成图形.
(1)直接写出的值;
(2)连接并延长,交于点,过点作于点.
①求证:;
②求直线与图形的公共点个数.
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【题目】已知二次函数y=(m﹣2)x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点,(x1,0),(x2,0),则下列说法正确是( )
①该函数图象一定过定点(﹣1,﹣5);
②若该函数图象开口向下,则m的取值范围为:m<2;
③当m>2,且1≤x≤2时,y的最大值为:4m﹣5;
④当m>2,且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1,x2满足﹣3<x1<﹣2,﹣1<x2<0时,m的取值范围为:m<11.
A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6.动点P、Q从点A同时出发,点P以每秒5个单位的速度沿边AB向终点B匀速运动.点Q沿折线AC→CB向终点B匀速运动,在AC、CB上的速度分别是每秒6个单位、每秒8个单位.以PQ为边作正方形PQMN,使得点M与点C始终在PQ的同侧.设点P运动的时间为t(s).
(1)当点Q在边AC上时,用含t的代数式表示PQ的长.
(2)当点M落在边BC上时,求t的值.
(3)当点Q在边AC上时,设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
(4)当正方形PQMN的边QM被△ABC的边平分时,直接写出t的值.
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