Question

在△ABC中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．
（1）如图①，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H．求证：四边形BECH是平行四边形；
（2）如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据两直线平行内错角相等求得∠DBE=∠DCH，然后依据AAS求得△BDE≌△CDH得出ED=HD，最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得．
（2）连接FD、ED，延长ED交CF于点H，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME=DN，MD=NF，进而根据SSS即可证明△MED≌△NDF，最后根据全等三角形的对应角相等求得∠EMD=∠FND．

解答：证明：（1）如图①，∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCH，
在△BDE与△CDH中，

∠DBE=∠DCH ∠BDE=∠CDH BD=CD

，
∴△BDE≌△CDH（AAS），
∴ED=HD，
∴四边形BECH是平行四边形；

（2）如图②连接FD、ED，延长ED交CF于点H，
∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴BE∥CF，
由（1）可知ED=HD，又∵CF⊥AE，
∴ED=FD，
∵在RT△AEB中，M是AB的中点，
∴ME=

1

2

AB，
∵在△ABC中，D、N分别是BC、AC的中点，
∴DN=

1

2

AB，
∴ME=DN，
同理，MD=NF，
在△MED与△NDF中，

ED=FD ME=DN MD=NF

，
∴△MED≌△NDF（SSS），
∴∠EMD=∠FND．

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，直角三角形斜边中线的性质，中位线的定理等，此题的根据是能够找出三角形全等的条件，证得全等．