Question

【题目】矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若∠ACB＝30°，菱形OCED的而积为，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）8．

【解析】

（1）熟记菱形的判定定理，本题可用一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）因为∠ACB=30°可证明菱形的一条对角线和边长相等，可证明和对角线构成等边三角形，然后作辅助线，根据菱形的面积已知可求解．

解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD

∴四边形OCED是平行四边形

∵四边形ABCD是矩形

∴AO＝OC＝BO＝OD

∴四边形OCED是菱形

（2）∵∠ACB＝30°，

∴∠DCO＝90°－30°＝60°

又∵OD＝OC

∴△OCD是等边三角形

过D作DF⊥OC于F，则CF=OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x．
在Rt△DFC中，tan60°=，
∴DF=x．
∴OCDF=8．
∴x=2．
∴AC=4×2=8．