Question

14．已知关于x的二次函数y=x²-2mx+m²+m的图象与直线y=kx+1．
（1）若k=1，求证：无论m为何值，二次函数图象与直线总有两个不同交点．
（2）在（1）条件下，若两图象交于两点A、B，试证明AB的长为定值，并求出这个定值．
（3）当m=0，设两图象交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），原点为O，无论k为何值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）令k=1，联立y=x²-2mx+m²+m和y=x+1可得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，求出方程的根的判别式，进而结论可证明；
（2）当k=1，m为任何值时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-1，同（1）的方法，可求出AB=$\sqrt{10}$；
（3）当m=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，得A（-1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；
②当k=1时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-x-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，同（1）求出AB=$\sqrt{10}$，则AB²=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出OA²+OB²=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形；
③当k为任意实数时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得x²-kx-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²═k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形．

解答 解：（1）∵关于x的二次函数y=x²-2mx+m²+m的图象与直线y=kx+1，其中k=1，
∴x²-2mx+m²+m=x+1，即x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，
∴△=（2m+1）²-4（m²+m-1），即△=5＞0，
∴方程x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，有两不相等的实数根，
∴无论m为何值，二次函数图象与直线总有两个不同的交点；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，
∴x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-1，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$|x₂-x₁|=$\sqrt{2}×\sqrt{（{x}_{2}+{x}_{1}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{10}$；

（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：
①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，得A（-1，1），B（1，1），
显然△AOB为直角三角形；
②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得x²-x-1=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$|x₂-x₁|=$\sqrt{2}×\sqrt{（{x}_{2}+{x}_{1}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{10}$；
∴AB²=10，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²
=x₁²+x₂²+（x₁+1）²+（x₂+1）²
=x₁²+x₂²+（x₁²+2x₁+1）+（x₂²+2x₂+1）
=2（x₁²+x₂²）+2（x₁+x₂）+2
=2（1+2）+2×1+2
=10，
∴AB²=OA²+OB²，
∴△AOB是直角三角形；
③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，
得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，
∴AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=（x₁-x₂）²+（kx₁-kx₂）²
=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（1+k²）（4+k²）
=k⁴+5k²+4，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²
=x₁²+x₂²+（kx₁+1）²+（kx₂+1）²
=x₁²+x₂²+（k²x₁²+2kx₁+1）+（k²x₂²+2kx₂+1）
=（1+k²）（x₁²+x₂²）+2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）+2k•k+2
=k⁴+5k²+4，
∴AB²=OA²+OB²，
∴△AOB为直角三角．

点评 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的关系，平面内两点间的距离公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定难度．本题对式子的变形能力要求较高．属于中考常考题．