Question

如图，矩形OABC放置在第一象限内，已知A(3，0)，∠AOB＝30°，反比例函数y＝的图像交BC、AB于点D、E．
(1)若点D为BC的中点，试证明点E为AB的中点；
(2)若点A关于直线OB的对称点为F，试探究：点F是否落在该双曲线上？

Answer 1

（1）证明见解析；（2）

试题分析：（1）根据直角三角形的性质，可得AB的长，根据矩形的性质，可得D点的坐标，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得证明结论；
（2）根据对称的性质，可得∠AOF的大小，OF与OA的关系，根据直角三角形的性质，可得F点的坐标，根据F点纵横坐标的乘积与反比例函数解析式中k的值，可得答案．
试题解析：（1）证明：∵OA=3，∠AOB=30°，
∴AB=．
∵D点D为BC的中点，
∴D（1.5，）．
∴反比例函数解析式是y=．
当x_E=3时，y_E=，
∴E为AB的中点；
（2）作FG⊥OA于点G，如图：点F没有落在双曲线上．
，
∵点A的对称点为，
∴∠AOF=60°．
∵OF=OA=3，
∴OG＝，FG＝．
∴F(，)．
∵×≠，
∴点F没有落在双曲线上．