Question

25、已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A=25°，∠APC=70°时，求∠C的度数；

（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论；
（3）如图③，当点P在线段FE的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的相等关系并证明．

Answer 1

分析：（1）直接求解比较困难，需要过点P作AB或CD的平行线，再根据平行线的性质得出结果．
（2）只是将（1）中的具体问题变成了探求一般的结论，因此解法同上．
（3）是（2）的变形，两者比较，只是P点位置不同，也可以仿照（2）的做法，过点P作平行线，还有如下解答的做法．

解答：解：（1）过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ=∠A=25°．
∴∠QPC=∠APC-∠APQ=45°．
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴CD∥PQ．
∴∠C=∠QPC=45°．

（2）∠C=∠APC-∠A．
证明如下：过点P作PQ∥AB．
∴∠APQ=∠A．
∴∠QPC=∠APC-∠APQ=∠APC-∠A．
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴CD∥PQ．
∴∠C=∠QPC．
∴∠C=∠APC-∠A．

（3）不成立，新的相等关系为∠C=∠APC+∠A．
证明：设AB与CD相交于Q，则∠PQB=∠APC+∠A．
∵AB∥CD，
∴∠C=∠PQB，
∴∠C=∠APC+∠A．

点评：本题三问由具体到抽象，由简单到复杂，有利于考查学生的分析问题，归纳问题和发散思维能力．