Question

27、如图所示，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是CD的中点．
（1）AC与AD相等吗？为什么？
（2）AF与CD的位置关系如何？说明理由；
（3）若P为AF上的一点，那么PC与PD相等吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）由已知条件：AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，可证得△ABC∽△AED，由此得AC=AD．
（2）由于△ACD是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到AF⊥CD．
（3）由（2）易知：AF垂直平分线段CD，即可根据线段垂直平分线的性质判定PC=PD．

解答：解：（1）AC=AD．
理由：∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，
∴△ABC≌△AED，
∴AC=AD．

（2）AF⊥CD．
理由：由（1）知：△ACD是等腰三角形，又F是CD中点；
根据等腰三角形“三线合一”的性质知，AF⊥CD．

（3）PC=PD．
理由：由（2）知：AF⊥CD，且F是CD中点，即AF垂直平分CD；
根据线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等，即可得PC=PD．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质；熟练掌握并灵活应用性质是解答本题的关键．