Question

【题目】我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=78°，∠B=82°，则∠C=_________，∠D=__________

（2）在探究“等对角四边形”性质时：

①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；

②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例（提示：举反例可画图并说明）

（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=，AD=，求对角线AC的长．

Answer 1

【答案】（1）118°，82°；（2）①见解析，②小红的猜想不正确，反例见解析；（3）AC的长为或

【解析】

（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=82°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；
（2）①连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；
②不正确．举一个使其结论不成立的反例即可．

（3）分两种情况讨论：当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解．

（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠B=82°，

∴∠D=∠B=82°

∴∠C=360°-∠A-∠B-∠D=118°

故答案为：118°，82°

（2）①如图，连接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD；

②小红的猜想不正确，如图：

四边形ABCD是“等对角四边形”∠A=∠C=90°，AB=AD，但，

所以小红的猜想不正确；

（3）分两种情况：

①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图：

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=，

∴∠E=30°，

∴AE=2AB=，

∴DE=AE﹣AD=，

∵∠EDC=90°，∠E=30°，

∴CD=6，

∴AC==；

②当∠BCD=∠DAB=60°时，

过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图：

则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，

∵∠DAB=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM=AD=，

∴DM=6

∴BM=AB﹣AM=，

∵四边形BNDM是矩形，

∴DN=BM=，BN=DM=6，

∵∠BCD=60°，

∴CN=3，

∴BC=CN+BN=9，

∴AC=；

综上所述：AC的长为或