Question

如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁，如图（2）中阴影部分，取△A₁B₁C₁和△D₁E₁F₁各边中点，连接成正六角星形A₂F₂B₂D₂C₂E₂，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A₄F₄B₄D₄C₄E₄的面积为

 

．

Answer 1

分析：先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．

解答：解：∵A₁、F₁、B₁、D₁、C₁、E₁分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁，且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁的面积为

1

4

，
同理可得，第三个六角形的面积为：

1

43

=

1

64

，
第四个六角形的面积为：

1

16

×

1

4

×

1

4

=

1

256

，
故答案为：

1

256

．

点评：本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方．