Question

已知：PA=

2

，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

Answer 1

（1）①如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE=45°，PA=

2

，
∴AE=PE=

2

×

2

2

=1，
∵PB=4，∴BE=PB-PE=3，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB=

AE2+BE2

=

10

．
②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A．
∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°
∴PP′=

2

PA=2，
∴PD=P′B=

PP′2+PB2

=

22+42

=2

5

；
解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的
延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG=

AE

cos∠EAG

=

AE

cos∠ABE

=

10

3

，EG=

1

3

，PG=PE-EG=

2

3

．
在Rt△PFG中，
可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=

10

5

，FG=

10

15

．
在Rt△PDF中，可得，
PD=

PF2+(AD+AG+FG)2

=

( 10 5 )2+( 10 + 10 15 + 10 3 )2

=2

5

．

（2）如图所示，

将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=

2

PA=2，PB=4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值为6．
此时∠APB=180°-∠APP'=135度．