Question

【题目】如图1，直线分别与轴、轴交于、两点，平分交于点，点为线段上一点，过点作交轴于点，已知，，且满足．

（1）求两点的坐标；

（2）若点为中点，延长交轴于点，在的延长线上取点，使，连接．

①与轴的位置关系怎样？说明理由；

②求的长；

（3）如图2，若点的坐标为，是轴的正半轴上一动点，是直线上一点，且的坐标为，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标为（3,0），点B的坐标为（0,6）；（2）①BG⊥y轴，理由见解析；②；（3）存在，点E的坐标为（0,4）

【解析】

（1）根据平方和绝对值的非负性即可求出m和n的值，从而求出点A、B的坐标；

（2）①利用SAS即可证出△BDG≌△ADF，从而得出∠G=∠AFD，根据平行线的判定可得BG∥AF，从而得出∠GBO=90°，即可得出结论；

②过点D作DM⊥x轴于M，根据平面直角坐标系中线段的中点公式即可求出点D的坐标，从而求出OM=，DM=3，根据角平分线的定义可得∠COA=45°，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定可得△FMD为等腰三角形，FM=DM=3，从而求出点F的坐标；

（3）过点F作FG⊥y轴于G，过点P作PH⊥y轴于H，利用AAS证出△GFE≌△HEP，从而得出FG=EH，GE=PH，然后根据点F和点P的坐标即可求出OE的长，从而求出点E的坐标．

解：（1）∵，

∴

解得：

∴AO=3，BO=6

∴点A的坐标为（3,0），点B的坐标为（0,6）；

（2）①BG⊥y轴，理由如下

∵点为中点

∴BD=AD

在△BDG和△ADF中

∴△BDG≌△ADF

∴∠G=∠AFD

∴BG∥AF

∴∠GBO=180°－∠AOB=90°

∴BG⊥y轴；

②过点D作DM⊥x轴于M

∵点为中点

∴点D的坐标为（）=（）

∴OM=，DM=3

∵平分

∴∠COA=

∵

∴∠MFD=∠COA=45°

∴△FMD为等腰三角形，FM=DM=3

∴OF=FM－OM=；

（3）存在，

过点F作FG⊥y轴于G，过点P作PH⊥y轴于H

若为等腰直角三角形，必有EF=PE，∠FEP=90°

∴∠GFE＋∠GEF=90°，∠HEP＋∠GEF=90°

∴∠GFE=∠HEP

在△GFE和△HEP中

∴△GFE≌△HEP

∴FG=EH，GE=PH

∵点的坐标为，点的坐标为

∴OG=10，PH=6

∴GE=6

∴OE=OG－GE=4

∴点E的坐标为（0,4）．