Question

如图，矩形ABCD中，AB=20cm、BC=30cm，在距边12cm、距C点20cm的点O处有一钉子．动P、Q同时从点A出发，点P沿A→B→C方向以5cm/s的速度运动，到点C停止运动；点Q沿A→D方向以3cm/s的速度运动，到点D停止运动．P、Q两点用一条可伸缩的橡皮筋连接，设两动点运动t（s）后橡皮筋扫过的面积为y（cm²）．
（1）当t=4时，求y的值；
（2）问：t为何值时，橡皮筋刚好接触钉子（即P、O、Q三点在同一直线上）；
（3）当4＜t≤10时，求y与t之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）当t=4时，AP=5t=4×5=20（cm）．
AQ=3t=3×4=12（cm）．
∴y=AP•AQ=×20×12=120（cm²）．

（2）延长EO交AD于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
又∵AB∥EF，∠B=90°．
∴四边形ABEF是矩形，
∴EF=AB=20cm，
∵OE=12cm，
∴OF=20-12=8（cm）．
在Rt△EOC中，EC===16（cm）．
∴BE=30-16=14（cm）．
∴当PQ刚好接触点O时，PE=34-5t，FQ=3t-14，
由△PEO∽△QFO，得=
即，=，
t=（s）．

（3）分两种情况：
①当4＜t≤，
y=S_△AOB+S_△BOP+S_△AOQ=×20×（3t+5t-20）=80t-200；
②当＜t≤10时，
y=S_梯形AGOQ+S_梯形OGBP
=AG（OG+AQ）+BG•（GO+BP）
=×8×（14+3t）+×12×（14+5t-20）
=42t+20．
分析：（1）当t=4时，根据运动速度可知道此时扫过的面积是三角形，从而求出解．
（2）橡皮筋刚好接触钉子即P、O、Q三点在同一直线上，根据在距边12cm、距C点20cm的点O处有一钉子，用勾股定理可求出解．
（3）分两种情况，以P，O，Q在一条直线上为分界线，根据得到图形求出面积．
点评：本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，梯形面积的计算，以及相似三角形的判定和性质．