Question

2．如图1，在△ABC中，点D、E在边BC上，且使BD=BA，CE=CA，则点D、E叫做△ABC的一对“等腰点”．

（1）如图1，当AB=AC＜BC时，则图中有4个等腰三角形，它们分别是△ABC、△ABD、△ACE、△ADE．
（2）如图2，D、E是△ABC的一对“等腰点”，当∠BAC=90°，∠B=50°时，求∠EAD的度数．
（3）如图3，D、E是△ABC的一对“等腰点”，若∠BAC=m（90°≤m＜180°），求∠α的度数（用含m的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）由BD=BA，CE=CA，AB=AC，得出∠B=∠C，BD=CE，由SAS证明△ABD≌△ACE，得出AD=AE；即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠C=40°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BDA=65°，∠CEA=70°，再由三角形内角和定理即可得出结果；
（3）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B），∠CEA=$\frac{1}{2}$（180°-∠C），求出∠BDA+∠CEA=180°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），得出∠α=180°-（∠BDA+∠CEA）=$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），由三角形内角和定理求出∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-m，即可得出∠α=90°-$\frac{m}{2}$．

解答 解：（1）图中等腰三角形有四个等腰三角形，分别是△ABC、△ABD、△ACE、△ADE；理由如下：
∵BD=BA，CE=CA，AB=AC，
∴∠B=∠C，BD=CE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE；
∴△ABC、△ABD、△ACE、△ADE是等腰三角形；
故答案为：4，△ABC、△ABD、△ACE、△ADE；
（2）∵∠BAC=90°，∠B=50°，
∴∠C=90°-50°=40°，
∵BD=BA，CE=CA，
∴∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-50°）=65°，∠CEA=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，
∴∠EAD=180°-65°-70°=45°；
（3）∵BD=BA，CE=CA，
∴∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B），∠CEA=$\frac{1}{2}$（180°-∠C），
∴∠BDA+∠CEA=180°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），
∴∠EAD=∠α=180°-（∠BDA+∠CEA）=$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-m，
∴∠α=90°-$\frac{m}{2}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．