Question

为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

Answer 1

(1) w与x的函数关系式为：w=﹣2x²+120x﹣1600；(2) 当x=30时，w有最大值．w最大值为200；（3）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．

解析试题分析：（1）销售利润w等于每千克的利润（x-20）乘以销售数量y，故得到关系式：w=（x﹣20）?y,再由y=-2x+80,代入得：y=（x﹣20）（﹣2x+80）,然后化简即可.（2）由（1）得到w=﹣2x²+120x﹣1600,然后对这个函数式配方，化成顶点式，得到y=﹣2（x﹣30）²+200,当x=30时，函数有最大值，最大值为200，即售价定为30元时，每天的利润最大，最大利润是200元.(3)将w=150代入函数关系式w=﹣2（x﹣30）²+200得﹣2（x﹣30）²+200=150，解得：x₁=25，x₂=35，由于售价不能高于每千克28元，所以售价应定为每千克25元.归纳：方程求出解后，一定要出两个方面检验根的正确性，一、检验是否是原方程的解；二、是否符合实际情况.
试题解析：（1）由题意得出：w=（x﹣20）?y=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x²+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w=﹣2x²+120x﹣1600；
（2）w=﹣2x²+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）²+200，
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）²+200=150．
解得 x₁=25，x₂=35．    ∵35＞28，
∴x₂=35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
考点：1、二次函数的应用；2、一元二次方程的应用.