Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=

m

x

 的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-4，n），线段OA=2

2

，E为x轴正半轴上一点，且∠AOE=45°．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接由图象写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）作AD⊥x轴于点D，根据∠AOE=45°求得AD=OD，利用勾股定理求得AD、OD的长，则得到A的坐标，求得反比例函数的解析式；
（2）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，则C的坐标即可求得，然后根据S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC求解；
（3）根据图象即可直接写出不等式的解集．

解答：解：（1）作AD⊥x轴于点D．
∵∠AOE=45°，
∴设AD=OD，则OD=x，
∵△AOD中，OA²=OD²+AD²，则8=x²+x²，
解得：x=2，
则AD=2，OD=2，
则A的坐标是（2，2）．
代入y=

m

x

得：m=4，
则反比例函数的解析式是：y=

4

x

；
（2）在y=

4

x

中，令x=-4，解得：y=n=-1，
则B的坐标是（-4，-1）．
根据题意得：

-4k+b=-1 2k+b=2

，
解得：

k= 1 2 b=1

，
则直线的解析式是：y=

1

2

x+1．
令y=0，解得：x=-2，
则C的坐标是（-2，0），即OC=2．
∴S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC=

1

2

×2×1+

1

2

×2×2=3．
（3）kx+b＞

m

x

的解集是：-4＜x＜0或x＞2．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及勾股定理等知识点，注意利用等腰直角三角形的性质求得A的坐标是关键．