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    已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0<t<2)，解答下列问题：
    （1）当t为何值时，QP∥BC ？
    （2）设AQP 的面积为y(cm2) ，求y与t之间的函数关系式；
    （3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
    （4）如图②，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
    解：（1）在Rt△ABC中，
    由题意知：AP = 5-t，AQ = 2t
    若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC
    ∴,∴
    ∴  所以当时 ，PQ∥BC
    （2）过点P作PH⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC
    ∴ ∴ ∴
    ∴
    （3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．
    ∴ ， 解得
    若PQ把△ABC面积平分，则，即-+3t=3
    ∵ t=1代入上面方程不成立，
    ∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
    （4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
    若四边形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
    ∵PM⊥AC于M， ∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
    ∴ ∴ ∴
    ∴ ∴ 解得
    ∴当时，四边形PQP'C 是菱形
    此时，
    在Rt△PMC中，
    ∴菱形PQP'C边长为

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•闸北区一模）已知：如图1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．动点M和N分别在线段AB和AC边上．
    （l）求证△AOB∽△COA，并求cosC的值；
    （2）当AM=4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；
    （3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN折叠，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E．设MN=x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    根据所给的基本材料，请你进行适当的处理，编写一道综合题．
    编写要求：①提出具有综合性、连续性的三个问题；②给出正确的解答过程；③写出编写意图和学生答题情况的预测．
    材料①：如图，先把一矩形纸片ABCD对折，得到折痕MN，然后把B点叠在折痕线上，得到△ABE，再过点B把矩形ABCD第三次折叠，使点D落在直线AD上，得到折痕PQ．当沿着BE第四次将该纸片折叠后，点A就会落在EC上．
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    材料②：已知AC是∠MAN的平分线．
    （1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
    （2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
    （3）在图3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
    则AB+AD=
     
    AC（用含α的三角函数表示）．
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    材料③：
    已知：如图甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ，设运动的时间为t（s）（0＜t＜2）．
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    编写试题选取的材料是
     
    （填写材料的序号）
    编写的试题是：（1）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．
    （2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值．
    （3）如图（2），连接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C．是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长．
    试题解答（写出主要步骤即可）：（1）过点Q作QD⊥AP于点D，证△AQD∽△ABC，利用相似性质及面积解答；
    （2）分别求得Rt△ACB的周长和面积，由周长求出t，代入函数解析式验证；
    （3）利用余弦定理得出PC、PQ，联立方程，求得t，再代入PC解得答案．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s;点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2).解答下列问题：

    1.①.当t为何值时，PQ∥BC? 

    2.②.设⊿AQP的面积为y(cm),求y与t之间的函数关系式；

    3.③.是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt⊿ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

    4.④.如图2，连接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四边形PQC,那么是否存在某时刻t，使四边形PQC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由。

     

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    科目：初中数学 来源：2010年重庆市万州区初中数学教师专业知识竞赛试卷（解析版） 题型：解答题

    根据所给的基本材料，请你进行适当的处理，编写一道综合题．
    编写要求：①提出具有综合性、连续性的三个问题；②给出正确的解答过程；③写出编写意图和学生答题情况的预测．
    材料①：如图，先把一矩形纸片ABCD对折，得到折痕MN，然后把B点叠在折痕线上，得到△ABE，再过点B把矩形ABCD第三次折叠，使点D落在直线AD上，得到折痕PQ．当沿着BE第四次将该纸片折叠后，点A就会落在EC上．

    材料②：已知AC是∠MAN的平分线．
    （1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
    （2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
    （3）在图3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
    则AB+AD=______AC（用含α的三角函数表示）．

    材料③：
    已知：如图甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ，设运动的时间为t（s）（0＜t＜2）．

    编写试题选取的材料是______（填写材料的序号）
    编写的试题是：（1）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．
    （2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值．
    （3）如图（2），连接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C．是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长．
    试题解答（写出主要步骤即可）：（1）过点Q作QD⊥AP于点D，证△AQD∽△ABC，利用相似性质及面积解答；
    （2）分别求得Rt△ACB的周长和面积，由周长求出t，代入函数解析式验证；
    （3）利用余弦定理得出PC、PQ，联立方程，求得t，再代入PC解得答案．

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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年四川省九年级上学期10月月考数学卷 题型：解答题

    已知：如图1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s;点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2).解答下列问题：

    1.①.当t为何值时，PQ∥BC? 

    2.②.设⊿AQP的面积为y(cm),求y与t之间的函数关系式；

    3.③.是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt⊿ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

    4.④.如图2，连接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四边形PQC,那么是否存在某时刻t，使四边形PQC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由。

     

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