Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．

（1）求证：OE=OF；
（2）若BC=2 ，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAC=∠FCO，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE=OF

（2）解：如图，连接OB，

∵BE=BF，OE=OF，

∴BO⊥EF，

∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，

由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，

∴∠BAC=∠ABO，

又∵∠BEF=2∠BAC，

即2∠BAC+∠BAC=90°，

解得∠BAC=30°，

∵BC=2 ，

∴AC=2BC=4 ，

∴AB= = =6．

【解析】（1）依据矩形的性质可知AB∥CD，然后，再根据平行线的性质可得到∠BAC=∠FCO，接下来，利用“AAS”可证明△AOE≌△COF，再根据全等三角形的即可得证；
（2）连接OB，首先依据等腰三角形三线合一的性质可知BO⊥EF，然后再根据矩形的性质可得出OA=OB，接下来，再根据等边对等角的性质证明∠BAC=∠ABO，然后依据三角形的内角和定理可得到∠BAC=30°，在Rt△ABC中，依据含30°直角三角形的性质可求得AC的长，最后，再利用勾股定理可求得AB的长.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．