【题目】 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点E，F分别在边AB，BC上，将△ABC沿直线EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处，且CD=3．
（1）求CF的长；
（2）点G是射线BA上的一个动点，连接DG，GC，BD，△DGC的面积与△DGB的面积相等，
①当点G在线段BA上时，求BG的长；
②当点G在线段BA的延长线上时，BG=______；
（3）将直线EF平移，平移后的直线与直线BC，直线AC分别交于点M和点N，以线段MN为一边作正方形MNPQ，点P与点B在直线MN两侧，连接PD，当PD∥BC时，请直接写出tan∠QBC的值．
【答案】（1）
；（2）①
； ②3
；（3）
【解析】
（1）如图1中，连接DF，在Rt△DCF中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题．
（2）①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时，证明AB=2AG时，满足条件．
（3）如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K．利用全等三角形以及相似三角形的性质解决问题即可．
解：（1）如图1中，连接DF
∵将△ABC沿直线EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处
∴DF=BF
在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF2，
∴（6-CF）2=9+CF2，
∴CF=
．
（2）①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x．
在Rt△ACB中，AC=4，BC=6，
∴AB=
=2
，
∵DG∥BC，
∴
=
，
∴
=
，
∴x=
．
②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时，
∵CD=3AD，
∴S△GDC=3S△QAD，
∴当S△ADB=2S△ADG时，S△GDC=S△GBD，
∴AB=2AG，
∴AG=，
∴GB=3，
故答案为：3
．
（3）如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴易证△PDN≌△NCM≌△MKA，
∴KQ=CM=DN，KM=CN=PD，∠DPN=∠CNM
∵∠CBD＋∠NMC=90°
∵∠CNM＋∠NMC=90°
∴∠CNM=∠CBD
∴∠DPN=∠CBD
∴△PDN∽△BCD，
∴
=
，
∴
=
，
∴PD=2DN，
∴CN=2DN，
∴DN=1，CN=2，
∴KQ=DN=CM=1，KM=CN=2，
∴BK=9，
∴tan∠QBC=
=
．
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【题目】如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN、AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝ACAE；
（3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明．
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【题目】我校2019年度“一中好声音“校园歌手比赛已正式拉开序幕，其中甲，乙两位同学的表现分外突出，现场A、B、C、D、E、F六位评委的打分情况以及随机抽取的50名同学的民意调查结果分别如下统计表和不完整的条形统计图：
A | B | C | D | E | F | |
甲 | 88 | m | 90 | 93 | 95 | 96 |
乙 | 89 | 92 | 90 | 97 | 94 | 93 |
（1）a＝ ，六位评委对乙同学所打分数的中位数是 ，并补全条形统计图；
（2）六位评委对甲同学所打分数的平均分为92分，则m＝ ；
（3）学校规定评分标准：去掉评委评分中最高和最低分，再算平均分，并将平均分与民意测评分按3：2计算最后得分，求甲、乙两位同学的得分，（民意测评分＝“好”票数×2+“较好”票数×1+“一般”票数×0）
（4）现准备从甲、乙两位同学中选一位优秀同学代表重庆一中参加市歌手大赛，请问选哪位同学？并说明理由．
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【题目】如图，直线x=t(t>0)与双曲线y=
(k1>0)交于点A，与双曲线y=
(k2<0)交于点B，连接OA，OB.
(1)当k1、k2分别为某一确定值时，随t值的增大，△AOB的面积_______(填增大、不变、或减小)
(2)当k1+k2=0，S△AOB=8时，求k1、k2的值.
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【题目】 如图，△ABC中，∠A=60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD=CE=2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为______．
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【题目】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（0，2），C（2，0）．
（1）请画出△A1BlCl，使△A1BlCl与△ABC是以O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，并使这两个三角形在位似中心同侧；
（2）将△A1BlC1绕O点逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并求出线段A1B1在旋转过程中所扫过的图形面积．
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【题目】已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点D在边AB上，以AD为直径的⊙O，与边BC有公共点E，则AD的最小值是_____．
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【题目】已知直线
与双曲线
交于
，
两点，过作
轴于点
，过作
轴于点
，连接
．
（Ⅰ）求，两点的坐标；
（Ⅱ）试探究直线与
的位置关系并说明理由．
（Ⅲ）已知点
，且，在抛物线
上，若当
（其中
）时，函数的最小值为
，最大值为
，求
的值．
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