Question

同学们，折纸中也有很大的学问呢．张老师出示了以下三个问题，小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：
在一张长方形ABCD纸片中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．
（1）如图1，折痕为DE，点A的对应点F在CD上，则折痕DE的长为______；
（2）如图2，H，G分别为BC，AD的中点，A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分的面积；
（3）如图3，在图2中，把长方形ABCD沿着HG对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个菱形，显然，这个菱形的周长最短是40cm，求叠合后周长最大的菱形的周长和面积．

Answer 1

解：（1）∵四边形ADFE是正方形，
∴DE===20cm；

（2）由折叠的性质可知，AD=DF，
∵GH分别是AD、BC的中点，
∴GD=AD=DF
∴在Rt△DGE中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，
∵∠GDE=∠EDF，
∴∠EDA=30°．
∴在Rt△ADE中，tan∠EDA=，
∴AE=AD•tan30°=
∴S_△DEF=AE•AD=×20×=；

（3）最大的菱形如图所示：
设GK=x，则HK=25-x，
x²=（25-x）²+10²，
解得x=，
则菱形的周长为58cm，
此时菱形的面积S=×10=145．
分析：（1）根据图形折叠的性质可知AD=AE=20cm，再根据勾股定理即可得出结论；
（2）由折叠的性质可得到DG=AD=DE，再根据直角三角形的性质得出∠EDA=30°，由锐角三角函数的定义得到AE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）设GK=x，则HK=25-x，利用勾股定理即可求出x的值，进而可得出菱形的周长求出其面积．
点评：本题考查的是图形的翻折变换、菱形及矩形的性质、三角形的面积公式，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．