Question

已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点．
（1）说明：MB=MC；
（2）设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论．

Answer 1

分析：（1）在AD上取点P，MP∥CE∥BD，再根据平行线分线段成比例定理可得P是BC的中点，再由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可求解；
（2）取AD、AE的中点F、G，连接BF、MF、MG、CG，由M是BE的中点可知，线段MG、MF都是△ADE的中位线，根据三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理可判断MFAG是平行四边形，可用AD．AE表示出MG．MF的长，再由直角三角形的性质可求出BF的长，再根据∠BAD=∠CAE通过等量代换可得∠BFM=∠MGC，可求出△BFM≌△MGC，由三角形全等即可得出答案．

解答：证明：（1）作点M作MP⊥AB于点P，
∵∠ABD=∠ACE=90°．
∴MP∥CE∥BD．
∵M为DE的中点，
∴CP=BP，
∴MP是BC的中垂线，
∴MB=MC；

（2）MB=MC成立．
取AD、AE的中点F、G，连接BF、MF、MG、CG显然线段MG、MF都是△ADE的中位线，
∴四边形MFAG是平行四边形，MG=

1

2

AD，MF=

1

2

AE，
∴∠MFA=∠AGM，
又∵∠DBA=∠ACE=90°，
∴Rt△斜边中线BF=

1

2

AD=MG，
CG=

1

2

AE=MF，
∵∠DAB=∠CAE，
∴∠BDA=∠CEA，
∴∠BFA=2∠BDA=2∠CEA=∠CGA，
∴∠BFM=∠BFA-∠MFA=∠CGA-∠AGM=∠MGC，
∴△BFM≌△MGC，
∴MB=MC．

点评：此题比较复杂，（1）主要是利用线段垂直平分线的性质；在解（2）时要作出辅助线，构造出平行其性质求解四边形及直角三角形的中线是解答此题的关键．