Question

如图1，⊙O的半径r=

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3

，弦AB、CD交于点E，C为弧AB的中点，过D点的直线交AB延长线于点F，且DF=EF．
（1）试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接AC，若AC∥DF，BE=

3

5

AE，求CE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明∠ODC+∠CDF=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明OH⊥AB，AH=4λ，此为解题的关键性结论；证明CE=

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λ；列出方程r²=（r-3λ）²+（4λ）²，求出λ=

6

25

r=

6

25

×

25

3

=2，即可解决问题．

解答：证明：（1）如图1，连接OC、OD；
∵C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，∠OCE+∠AEC=90°；
∴DF=EF，
∴∠FDE=∠FED=∠AEC；
∵OA=OC，
∴∠OCE=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDF=90°，
即OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切．
（2）如图2，连接OA、OC；
由（1）知OC⊥AB，
∴AH=BH；
∵AC∥DF，
∴∠ACD=∠CDF；而EF=DF，
∴∠DEF=∠CDF=∠ACD，
∴AC=AE；
设AE=5λ，则BE=3λ，
∴AH=4λ，HE=λ，AC=AE=5λ；
∴由勾股定理得：CH=3λ；
CE²=CH²+HE²=9λ²+λ²，
∴CE=

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λ；
在直角△AOH中，由勾股定理得：
AO²=AH²+OH²，
即r²=（r-3λ）²+（4λ）²，
解得：λ=

6

25

r=

6

25

×

25

3

=2，
∴CE=2

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．

点评：该题主要考查了圆的切线的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用有关定理来分析、解答．