Question

16．如图，直线l：y=mx-3与x轴、y轴分别交于点A、B，点P₁（2，1）在直线l上，将点P₁先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P₂．
（1）判断点P₂是否在直线l上；并说明理由．
（2）若直线l上的点在x轴上方，直接写出x的取值范围．
（3）若点P为过原点O与直线l平行的直线上任意一点，直接写出S_△PAB的值．

Answer 1

分析 （1）根据“右加左减、上加下减”的规律来求点P₂的坐标，把点P₁（2，1），代入直线方程，利用方程组来求系数的值，把点（6，9）代入（2）中的函数解析式进行验证即可；
（2）根据直线l与x轴的交点坐标即可得到结论；
（3）根据已知条件得到S_△PAB=S_△OAB，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，过O作OC⊥AB于C，根据三角形的面积公式得到OC=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，于是得到结论．

解答 解：（1）点P₂在直线l上，
理由：∵直线l：y=mx-3，过点P₁（2，1），
∴把点P₁（2，1）代入y=mx-3，得1=2m-3，
∴m=2，
∴直线l的解析式为：y=2x-3，
∵将点P₁先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P₂．
∴P₂（3，3），
∵2×3-3=3，
∴点P₂在直线l上；
（2）∵直线l与x轴交于（$\frac{3}{2}$，0），
∴若直线l上的点在x轴上方，x的取值范围为：x＞$\frac{3}{2}$；
（3）∵若点P为过原点O与直线l平行的直线上任意一点，
∴S_△PAB=S_△OAB，
∵在y=2x-3中，令x=0，则y=-3，令y=0，则x=$\frac{3}{2}$，
∴A（0，-3），B（$\frac{3}{2}$，0），
∴OA=3，OB=$\frac{3}{2}$，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
过O作OC⊥AB于C，
∴OC=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△PAB=S_△OAB=$\frac{1}{2}×$$\frac{3\sqrt{5}}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了两条直线平行或相交问题，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象的几何变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．