Question

1．直线y=-$\frac{4}{3}$x+4分别交x，y轴于点A、点B，O为坐标原点，在该坐标平面内，作△PAB，使△PAB与△OAB全等．
（1）求出所有满足题意的点P的坐标；
（2）设（1）中满足题意的点P有n个，记为P₁，P₂，…，P_n，在坐标平面内找一点Q，使Q到点P₁，P₂，…，P_n以及点A，B，O的距离之和最小，求出点Q的坐标和这个最小值．

Answer 1

分析 （1）按题意画出图形，根据图形特点分三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式求解即可；
（2）由（1）知△P₁AB，△P₂AB，△P₃AB，△OBA都是斜边为AB=5的直角三角形，因此得出点P1，P2，P3，A，O，B都是以AB为直径的圆上，所以点G就是线段AB的中点．

解答 解：（1）

作出如图所示，△P₁AB≌△OBA，△P₂AB≌△OAB，△P₃AB≌△OBA，
∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+4分别交x，y轴于点A、点B，
∴A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∵∠AOB=90°，△PAB与△OAB全等，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
设点P（m，n）
①当△P₁AB≌△OBA时，P₁A=OB=4，P₁B=OA=3，
∴P₁（-3，4）；
②当△P₂AB≌△OAB时，P₂A=OA=3，P₂B=OB=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（m+3）^{2}+{n}^{2}}=3}\\{\sqrt{{m}^{2}+（n-4）^{2}}=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{m=-3.84}\\{n=2.88}\end{array}\right.$，
∴P₂（-3.84，2.88）；
③当△P₃AB≌△OBA时，P₃A=OB=4，P₃B=OA=3，
同②的方法得出P₃（0.84，1.12），
即：满足题意的点P的坐标为（-3，4）；（-3.84，2.88）；（0.84，1.12）；
（2）如图2，

由（1）知△P₁AB，△P₂AB，△P₃AB，△OBA都是斜边为AB=5的直角三角形，
因此点P1，P2，P3，A，O，B都是以AB为直径的圆上，
要使Q到点P₁，P₂，…，P_n以及点A，B，O的距离之和最小，
则有点G就是线段AB的中点．最小值为3AB=15
∵A（-3，0），B（0，4），∴G（-1.5，2），
即：G（-1.5，2），Q到点P₁，P₂，…，P_n以及点A，B，O的距离之和最小值为15．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，平面坐标系内两点间的距离公式，极值，画出图形是解本题的关键，找到点G是解本题的难点．