Question

如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4

3

=7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2

6

=5）

Answer 1

分析：（1）依题意代入x的值可得抛物线的表达式．
（2）令y=0可求出x的两个值，再按实际情况筛选．
（3）本题有多种解法．如图可得第二次足球弹出后的距离为CD，相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位可得
2=-

1

12

（x-6）²解得x的值即可知道CD、BD．

解答：解：（1）如图，设足球开始飞出到第一次落地时，
抛物线的表达式为y=a（x-h）²+k，
∵h=6，k=4，
∴y=a（x-6）²+4，
由已知：当x=0时y=1，
即1=36a+4，
∴a=-

1

12

，
∴表达式为y=-

1

12

（x-6）²+4，
（或y=-

1

12

x²+x+1）．

（2）令y=0，-

1

12

（x-6）²+4=0，
∴（x-6）²=48，
解得：x₁=4

3

+6≈13，x₂=-4

3

+6＜0（舍去），
∴足球第一次落地距守门员约13米．

（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD，
根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），
∴2=-

1

12

（x-6）²+4，解得：x₁=6-2

6

，x₂=6+2

6

，
∴CD=|x₁-x₂|=4

6

≈10，
∴BD=13-6+10=17（米）．
解法二：令-

1

12

（x-6）²+4=0
解得：x₁=6-4

3

（舍），x₂=6+4

3

≈13．
∴点C坐标为（13，0）．
设抛物线CND为y=-

1

12

（x-k）²+2，
将C点坐标代入得：
-

1

12

（13-k）²+2=0
解得：k₁=13-2

6

（舍去），k₂=6+4

3

+2

6

≈6+7+5=18，
令y=0，0=-

1

12

（x-18）²+2，x₁=18-2

6

（舍去），x₂=18+2

6

≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
解法三：由解法二知，k=18，
所以CD=2（18-13）=10，
所以BD=（13-6）+10=17．
答：他应再向前跑17米．

点评：这是一道比较新颖的二次函数应用问题，解题的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的知识解决问题．