分析 先求出边长为6的正三角形的周长,再由三角函数求出边心距,得出外接圆的半径,再求出其面积即可.
解答 解:如图所示:
连接OA、OB、OC,过O作OD⊥BC于D,
∵△ABC是边长为2$\sqrt{3}$的等边三角形,
∴AB=AC=BC=2$\sqrt{3}$,∠ABC=60°,
∴△ABC的周长=3AB=6$\sqrt{3}$,∠OBD=30°,
∵OD⊥BC,
∴∠ODB=90°,BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$,
∴OD=BD•tan30°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1,
∴OB=2OD=2,
∴AD=OA+OD=3,
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$,
即正三角形的周长为6$\sqrt{3}$,边心距为1,半径为2,面积为3$\sqrt{3}$.
点评 本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、周长和面积的计算;熟练掌握正三角形的性质,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
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