Question

【题目】已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（ ）
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解： ① BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△EBC中， ，
∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，…②正确；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC．…③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，

∵E是BD上的点，∴EF=EG，
∵在RT△BEG和RT△BEF中， ，
∴RT△BEG≌RT△BEF（HL），
∴BG=BF，
∵在RT△CEG和RT△AFE中， ，
∴RT△CEG≌RT△AFE（HL），
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF．…④正确．
故选D．
易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即③正确，根据③可求得④正确．