Question

5．如图，△ABC中，AB=BC，线段AB上有一点D，以CD为底边作等腰△ECD，
（1）如图1，∠A=45°，∠EDC=30°，D为AB中点，AB=2，求：ED的长；
（2）如图2，∠BAC=30°，∠EDC=60°，连接EA、EB，求证：BD+BC=BE；
（3）如图3，∠BAC=30°，∠EDC=45°，F为EC中点，DE交AC于点H，当DF∥BC时，直接写出$\frac{BC}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EH⊥CD于H．在Rt△BDC中，由BD=1，BC=AB=2，推出CD=$\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，由ED=EC，EH⊥DC，推出DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△DEH中，根据cos30°=$\frac{DH}{DE}$，即可求出DE．
（2）如图2中，延长ED交CB的延长线于H，在BE上取一点M，使得BM=BC，连接CM．由△HDB∽△HCE，推出$\frac{HD}{HC}$=$\frac{HB}{HE}$，推出$\frac{HD}{HB}$=$\frac{HC}{HE}$，由∠H=∠H，推出△HDC∽△HBE，推出∠HEB=∠HCD，由∠DOE=∠BOC，推出∠BCE=∠EDC=60°，再证明△BCD≌△MCE，推出EM=BD，即可解决问题．
（3）如图3中，作FM⊥CD于M，DN⊥CB于N．设DE=EC=2a，由tan∠FDM=tan∠DCN=$\frac{FM}{DM}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{DN}{CN}$，设DN=m，则CN=3m，求出BD、BC即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作EH⊥CD于H．

∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠B=90°，
在Rt△BDC中，∵BD=1，BC=AB=2，
∴CD=$\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵ED=EC，EH⊥DC，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△DEH中，∵∠EDH=30°，
∴cos30°=$\frac{DH}{DE}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

（2）如图2中，延长ED交CB的延长线于H，在BE上取一点M，使得BM=BC，连接CM．

∵ED=EC，∠EDC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC=CE，
∵BA=BC，∠A=30°，
∴∠A=∠ACB=30°，
∴∠ABC=120°，∠DBH=60°=∠HEC，
∵∠H=∠H，
∴△HDB∽△HCE，
∴$\frac{HD}{HC}$=$\frac{HB}{HE}$，
∴$\frac{HD}{HB}$=$\frac{HC}{HE}$，∵∠H=∠H，
∴△HDC∽△HBE，
∴∠HEB=∠HCD，
∵∠DOE=∠BOC，
∴∠BCE=∠EDC=60°，
∴△BMC是等边三角形，
∴CM=CB，∠BCM=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠MCE，
在△BCD和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=MC}\\{∠BCD=∠MCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△MCE，
∴EM=BD，
∴BE=BM+EM=BC+BD．

（3）如图3中，作FM⊥CD于M，DN⊥CB于N．设DE=EC=2a，

∵BA=BC，R=ED=EC=2a，∠BAC=30°，∠EDC=45°，F为EC中点，
∴∠ABC=120°，∠E=90°，EF=FC=a，FM=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在Rt△EDF中，DF=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
在Rt△DMF中，DM=$\sqrt{（\sqrt{5}a）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
∵DF∥BC，
∴tan∠FDM=tan∠DCN=$\frac{FM}{DM}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{DN}{CN}$，设DN=m，则CN=3m，
在Rt△DBN中，∵∠DBN=60°，
∴∠NDB=30°，
∴BN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，DB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，BC=CN-BN=3m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{3m-\frac{\sqrt{3}}{3}m}{\frac{2\sqrt{3}}{3}m}$=$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题考查三角形综合题、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．