Question

【题目】正方形ABCD中，点P为直线AB上一个动点（不与点A，B重合），连接DP，将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N．

问题出现：（1）当点P在线段AB上时，如图1，线段AD，AP，DM之间的数量关系为　 　；

题探究：（2）①当点P在线段BA的延长线上时，如图2，线段AD，AP，DM之间的数量关系为　 　；

②当点P在线段AB的延长线上时，如图3，请写出线段AD，AP，DM之间的数量关系并证明；

问题拓展：（3）在（1）（2）的条件下，若AP=，∠DEM=15°，则DM=　 　．

Answer 1

【答案】(1) DM=AD+AP ;(2) ①DM=AD﹣AP ; ②DM=AP﹣AD ;(3) 3﹣或﹣1．

【解析】

（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；

（2）①根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；

②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；

（3）分两种情况利用勾股定理和三角函数解答即可．

（1）DM=AD+AP，理由如下：

∵正方形ABCD，

∴DC=AB，∠DAP=90°，

∵将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N，

∴DP=PE，∠PNE=90°，∠DPE=90°，

∵∠ADP+∠DPA=90°，∠DPA+∠EPN=90°，

∴∠DAP=∠EPN，

在△ADP与△NPE中，

，

∴△ADP≌△NPE（AAS），

∴AD=PN，AP=EN，

∴AN=DM=AP+PN=AD+AP；

（2）①DM=AD﹣AP，理由如下：

∵正方形ABCD，

∴DC=AB，∠DAP=90°，

∵将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N，

∴DP=PE，∠PNE=90°，∠DPE=90°，

∵∠ADP+∠DPA=90°，∠DPA+∠EPN=90°，

∴∠DAP=∠EPN，

在△ADP与△NPE中，

，

∴△ADP≌△NPE（AAS），

∴AD=PN，AP=EN，

∴AN=DM=PN﹣AP=AD﹣AP；

②DM=AP﹣AD，理由如下：

∵∠DAP+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90°，

∴∠DAP=∠PEN，

又∵∠A=∠PNE=90°，DP=PE，

∴△DAP≌△PEN，

∴AD=PN，

∴DM=AN=AP﹣PN=AP﹣AD；

（3）有两种情况，如图2，DM=3﹣，如图3，DM=﹣1；

①如图2：∵∠DEM=15°，

∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°，

在Rt△PAD中AP=，AD==3，

∴DM=AD﹣AP=3﹣；

②如图3：∵∠DEM=15°，

∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°，

在Rt△PAD中AP=，AD=APtan30°==1，

∴DM=AP﹣AD=﹣1．

故答案为；DM=AD+AP；DM=AD﹣AP；3﹣或﹣1．