Question

若a、b、c是△ABC的三边，a+c=2b，且方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等的实数根，sinA+sinB+sinC的值．

Answer 1

分析：先把方程化为一般形式，利用方程有两个相等的实数根，则△=0，得到a²+b²=c²，△ABC是以c为斜边的直角三角形；利用正弦的定义把sinA+sinB+sinC化为边的关系；又由a+c=2b和a²+b²=c²，求出三边的关系；最后计算sinA+sinB+sinC的值．

解答：解：将方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0化为一般形式为（c-a）x²+2bx+c+a=0，因为它有两个相等的实数根，所以c-a≠0，△=0，即4b²-4（c-a）（c+a）=0，a²+b²=c²．
所以△ABC是以c为斜边的直角三角形．
则有sinA+sinB+sinC=

a

c

+

b

c

+1=

a+b

c

+1，
又∵a+c=2b，则c=2b-a，代入a²+b²=c²，得3b=4a，令a=4t，则b=3t，c=5t，
∴sinA+sinB+sinC=

a+b

c

+1=

3t+4t

5t

+1=

12

5

．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；同时考查了三角函数的定义和代数式变形的能力．