Question

【题目】已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以1，以2的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题：

（1）当__________时，；

（2）连接．

①当时，求线段的长；

②在运动过程中，的形状不断发生变化，它能否构成直角三角形？如果能则求出此时的值，如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）①，②能，当t为4.5或7.2时，△BPQ是直角三角形．

【解析】

（1）先求得AB的长，再设BP=t，AQ=2t，则BQ=18-2t，即可求得t的值；

（2）①作QM⊥BC于M，QN⊥AC于N，在Rt△PQM中，利用勾股定理即可求解；

②分两种情况讨论当PQ⊥BC和PQ⊥BA，利用直角三角形的性质解答即可．

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=9 cm

∴AB=2 BC =18 cm，

由P、Q的运动速度可知：BP=t，AQ=2t，则BQ=18-2t，

根据题意：BP=BQ，即t=18-2t，

解得：t=6(s)；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=9 cm．

∴AB=18 cm，AC==cm，

由P、Q的运动速度可知：BP=t，AQ=2t，

①当t=4时， BP=4，AQ=8，

作QM⊥BC于M，QN⊥AC于N，如答图1，

∵，

∴四边形CNQM为矩形，MC= QN，QM=CN，

∵∠A=30°，AQ=8，

∴QN=，，

∴PM=BC-BP-MC=9﹣4﹣4=1，

QM=CN=AC﹣AN=，

∴(cm)；

②能构成直角三角形，有以下两种情况：

如答图2，当PQ⊥BC时，即PQ//AC，

∴∠BQP=∠A=30°，

∴BQ=2BP=2t，

即AB=BQ+AQ=2t +2t =4t=18，

解得：t=4.5(s)；

如答图3，当PQ⊥BA时，

∵∠A=30°，

∴∠B=60°，

∴∠BPQ=30°，

∴BP=2BQ=t，

∴BQ=0.5t，

即AB=AQ+BQ=2t+0.5t =2.5t=18，

解得：t=7.2(s)；

综上所述，当t为4.5(s)或7.2(s)时，△BPQ是直角三角形．