Question

20．如图，在正方形ABCD中，AB=8，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O₁，⊙O₂．
（1）求⊙O₁的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质根据勾股定理可得半径．
（2）连接O₁E，从图中看出阴影部分的面积等于4倍的扇形面积减三角形面积，依面积公式计算即可．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD=4，∠A=90°，
∴BD=$\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{2}$
∴BO₁=$\frac{1}{4}$BD=2$\sqrt{2}$
∴⊙O₁的半径=2$\sqrt{2}$．

（2）设线段AB与圆O₁的另一个交点是E，连接O₁E
∵BD为正方形ABCD的对角线
∴∠ABO=45°
∵O₁E=O₁B
∴∠BEO₁=∠EBO₁=45°
∴∠BO₁E=90°
∴S₁=S_扇形O1BE-S_△O1BE=$\frac{90•π×8}{360}$=2π-4
根据图形的对称性得：S₁=S₂=S₃=S₄
∴S_阴影=4S₁=8π-16．

点评 本题考查的是正多边形和圆的关系，根据正方形的性质求出圆的半径是解答此题的关键．