Question

21、如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且CD=AE，AD与BE相交于点P．
（1）求证：∠ABE=∠CAD；
（2）若BH⊥AD于点H，求证：PB=2PH．

Answer 1

分析：（1）欲证∠ABE=∠CAD，可以通过证明△ABE≌△CAD得出；
（2）欲证PB=2PH，因为BH⊥AD于点H，在Rt△PBH中根据含30°的直角三角形的性质由∠BPH=60°即可得到答案．

解答：证明：（1）∵等边△ABC，
∴AC=AB，∠C=∠CAB．
∵CD=AE，
∴△ABE≌△CAD．
∴∠ABE=∠CAD．

（2）∵∠BPH=∠BAD+∠ABP=∠BAD+∠CAD=60°，
∵BH⊥AD于点H，
∴在Rt△PBH中
∴PB=2PH．

点评：此题主要考查等边三角形的性质及全等三角形判定与性质及含30°角的直角三角形的性质；求得三角形全等及∠BPH=60°是正确解答本题的关键．