Question

某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．

探究：设行驶吋间为t分．
（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y₁，y₂（米） 与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；
（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．
发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米．
情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；
情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．
比较哪种情况用时较多？（含候车时间）
决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P （不与点D，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇．
（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由：
（2）设PA=s（0＜s＜800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？

Answer 1

考点：一次函数的应用,一元一次方程的应用,一元一次不等式组的应用

专题：压轴题

分析：探究：（1）由路程=速度×时间就可以得出y₁，y₂（米） 与t（分）的函数关系式，再由关系式就可以求出两车相距的路程是400米时t的值；
（2）求出1号车3次经过A的路程，进一步求出行驶的时间，由两车第一次相遇后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数；
发现：分别计算出情况一的用时和情况二的用时，在进行大小比较就可以求出结论
决策：（1）根据题意可以得出游客乙在AD上等待乘1号车的距离小于边长，而成2号车到A出口的距离大于3个边长，进而得出结论；
（2）分类讨论，若步行比乘1号车的用时少，就有

s

50

＜

800×2-s

200

，得出s＜320．就可以分情况得出结论．

解答：解：探究：（1）由题意，得
y₁=200t，y₂=-200t+1600
当相遇前相距400米时，
-200t+1600-200t=400，
t=3，
当相遇后相距400米时，
200t-（-200t+1600）=400，
t=5．
答：当两车相距的路程是400米时t的值为3分钟或5分钟；

（2）由题意，得
1号车第三次恰好经过景点C行驶的路程为：800×2+800×4×2=8000，
∴1号车第三次经过景点C需要的时间为：8000÷200=40分钟，
两车第一次相遇的时间为：1600÷400=4．
第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为：800×4÷400=8，
∴两车相遇的次数为：（40-4）÷8+1=5次．
∴这一段时间内它与2号车相遇的次数为：5次；
发现：由题意，得
情况一需要时间为：

800×4-x

200

=16-

x

200

，
情况二需要的时间为：

800×4+x

200

=16+

x

200

∵16-

x

200

＜16+

x

200

∴情况二用时较多．
决策：（1）∵游客乙在AD边上与2号车相遇，
∴此时1号车在CD边上，
∴乘1号车到达A的路程小于2个边长，乘2号车的路程大于3个边长，
∴乘1号车的用时比2号车少．
（2）若步行比乘1号车的用时少，

s

50

＜

800×2-s

200

，
∴s＜320．
∴当0＜s＜320时，选择步行．
同理可得
当320＜s＜800时，选择乘1号车，
当s=320时，选择步行或乘1号车一样．

点评：本题考查了一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，一元一次不等式的运用，分类讨论思想的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是解答本题的关键．