Question

20．在平面直角坐标系中，点P在直线y=x上，点A为x轴上一动点，PB⊥PA，交x的正半轴于点B，PH⊥x轴于H．

（1）当点A在y轴的正半轴上时，如图1，线段OA、OB、PH之间的数量关系是OA+OB=2PH．
（2）当点A在y轴的负半轴上时，如图2，求证：OB-OA=2PH．
（3）在（2）的条件下，连接AB，过点P作PC⊥AB于点C，交x轴于点D，当∠OBP=30°，BD=8时，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点P作PN⊥AO于N．则∠PNA=90°，由P在直线y=x上，得出PH=PN．得出四边形PNOH是正方形，得出PN=ON=OH=PH，∠NPH=90°，由ASA证明△APN≌△BPH，得出AN=BH，PA=PB，即可得出OA+OB=2PH；
（2）过点P作PN⊥AO于N，同（1）得：四边形PNOH是正方形，△APN≌△BPH，得出PN=ON=OH=PH，AN=BH，PA=PB，即可得出结论；
（3）作DM⊥PB于M，则∠DMB=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出DM=$\frac{1}{2}$BD=4，BM=$\sqrt{3}$DM=4$\sqrt{3}$，由等腰直角三角形的性质得出PM=DM=4，得出PB=PA=4+4$\sqrt{3}$，求出PN，NA，ON，再求出OA=NA-ON=4，即可得出点A的坐标．

解答 （1）解：过点P作PN⊥AO于N．如图1所示：
则∠PNA=90°，
∵P在直线y=x上，
∴PH=PN．
∵PH⊥OB，
∴∠PHO=∠PHB=90°，
∴四边形PNOH是正方形，
∴PN=ON=OH=PH，∠NPH=90°，
∵PB⊥PA，
∴∠APB=90°，
∴∠APN=∠BPH，
在△APN和△BPH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNA=∠PHB}&{\;}\\{PN=PH}&{\;}\\{∠APN=∠BPH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APN≌△BPH（ASA），
∴AN=BH，PA=PB，
∴OA+OB=OA+OH+BH=OA+PH+AN=ON+PH=2PH；
故答案为：OA+OB=2PH；
（2）证明：过点P作PN⊥AO于N，如图2所示
同（1）得：四边形PNOH是正方形，△APN≌△BPH（ASA），
∴PN=ON=OH=PH，AN=BH，PA=PB，
∴OB-OA=OH+BH-OA=OH+AN-OA=OH+ON=2PH；
（3）解：作DM⊥PB于M，如图3所示：
则∠DMB=90°，
∵∠OBP=30°，
∴DM=$\frac{1}{2}$BD=4，BM=$\sqrt{3}$DM=4$\sqrt{3}$，
∵PA=PB，PC⊥AB，
∴∠DPB=45°，
∴PM=DM=4，
∴PB=4+4$\sqrt{3}$，
∴PA=4+4$\sqrt{3}$，
∵∠PAN=30°，
∴PN=2+2$\sqrt{3}$，NA=2$\sqrt{3}$+6，
∴ON=2$+2\sqrt{3}$，
∴OA=NA-ON=4，
∴点A的坐标为（0，-4）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、一次函数的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度适中．