Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知P（x1，y1）Q（x2，y2），定义P、Q两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和为P、Q两点的直角距离，记作d（P，Q）．即d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|

如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（1，4），B（5，2），则d（A，B）＝|5﹣1|+|2﹣4|＝6．

（1）如图2，已知以下三个图形：

①以原点为圆心，2为半径的圆；

②以原点为中心，4为边长，且各边分别与坐标轴垂直的正方形；

③以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的正方形．

点P是上面某个图形上的一个动点，且满足d（O，P）＝2总成立．写出符合题意的图形对应的序号　 　．

（2）若直线y＝k（x+3）上存在点P使得d（O，P）＝2，求k的取值范围．

（3）在平面直角坐标系xOy中，P为动点，且d（O，P）＝3，⊙M圆心为M（t，0），半径为1．若⊙M上存在点N使得PN＝1，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ③;(2)﹣≤k≤；（3）﹣5≤t≤﹣3+2或3﹣2≤t≤5．

【解析】

（1）分三种情况设出点P的坐标，按照两点的直角距离的定义可以直接求出结果，即可判断各结论是否符合题意；

（2）分别求出直线y＝k（x+3）经过特殊点（0，2），（0，﹣2）时k的值，由运动过程写出k的取值范围；

（3）由（1）可判断满足d（O，P）＝3的点是在以原点为中心，对角线在坐标轴上，且对角线长为6的正方形ABCD上，再分别求出⊙M与正方形在y轴左右两边最远距离为2时t的值，即可写出结果．

解：（1）①如图1，点P在以原点为圆心，2为半径的圆上，

设P点横坐标为1，则纵坐标为，

∴P（1，），

根据定义两点的直角距离，d（P，O）＝|2﹣0|+|﹣0|＝2+≠2，

故①不符合题意；

②如图2，点P在以原点为中心，4为边长，且各边分别与坐标轴垂直的正方形上时，

设P（2，a）（a≠0），

则d（P，O）＝|2﹣0|+|a﹣0|＝2+a≠2，

故②不符合题意；

③如图3，点P在以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的正方形上时，

将点A（0，2），D（2，0）代入y＝kx+b，

得，，

解得，k＝﹣1，b＝2，

∴yAD＝﹣x+2，

设点P在AD上，坐标为（a，﹣a+2）（0≤a≤2），

则d（P，O）＝|a﹣0|+|﹣a+2﹣0|＝2，

故③符合题意；

故答案为③；

（2）当直线经过（0，2）时，将（0，2）代入直线y＝k（x+3），

得，3k＝2，

∴k＝；

当直线经过（0，﹣2）时，将（0，﹣2）代入直线y＝k（x+3），

得，3k＝﹣2，

∴k＝﹣；

运动观察可知，k的取值范围为﹣≤k≤；

（3）由题意，满足d（O，P）＝3的点是在以原点为中心，对角线在坐标轴上，且对角线长为6的正方形ABCD上（如图4），

当M在正方形ABCD外时，若MA＝2，则t＝﹣5，若MC＝2，则t＝5，

当M在正方形ABCD内部时，

若M到正方形AD，AB边的距离恰好为2，

则t＝﹣3+2，

若M到正方形DC，BC边的距离恰好为2，

则t＝3﹣2，

运动观察可知，t的取值范围为﹣5≤t≤﹣3+2或3﹣2≤t≤5．