Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）若△PQR是以QR为底边的等腰三角形，求的x值．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出BC的长，再由相似三角形的判定定理得出△BHD∽△BAC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）根据QR∥AB得出∠QRC=∠A=90°，故可得出△RQC∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵点D为AB中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴$\frac{DH}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴DH=$\frac{AC•BD}{BC}$=$\frac{3×8}{10}$=$\frac{12}{5}$．                

（2）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴$\frac{RQ}{AB}$=$\frac{QC}{BC}$，
∴$\frac{y}{6}$=$\frac{10-x}{10}$，即y关于x的函数关系式为：y=-$\frac{3}{5}$x+6；

（3）当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C，
∴cos∠1=cosC=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{QM}{QP}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（-\frac{3}{5}x+6）}{\frac{12}{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴x=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质及锐角三角函数的定义等知识，在解答（3）时，作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．