Question

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠ABD的平分线BE交AC于G，交AD于F，且DE⊥BE．
（1）求证：DE=

1

2

BF；
（2）若BG=

2

，求BF的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题,压轴题

分析：（1）延长DE和BA交于M，根据ASA证△MBE≌△DBE，推出DE=

1

2

DM，根据ASA证△ABF≌△ADM，推出BF=DM即可；
（2）关键正方形性质推出∠ADB=∠ABD，证△ABG和△DBF相似，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）证明：延长DE和BA交于M，
∵DE⊥BE，
∴∠BED=∠BEM=90°，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
在△MBE和△DBE中
∠MEB=∠DEB，BE=BE，∠MBE=∠DBE，
∴△MBE≌△DBE，
∴DE=EM=

1

2

DM，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠MAD=∠BAD=90°，
∵∠EFD=∠AFB，
∴∠MDA=∠ABF，
在△ABF和△ADM中
∠MAD=∠BAF，AB=AD，∠ADM=∠ABF，
∴△ABF≌△ADM，
∴BF=DM，
∴DE=

1

2

BF．

（2）解：∵正方形ABCD，
∴∠BAC=∠ADB=

1

2

×90°=45°，
∵∠ABG=∠DBG，
∴△ABG∽△DBF，
∴

BG

BF

=

AB

BD

=

AB

2 AB

=

1

2

，
∴BF=2．

点评：本题考查了对全等三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点的理解和掌握，解（1）小题关键是作辅助线后证出DE=

1

2

DM和DM=FB；解第（2）小题主要是证△ABG和△DBF相似．