Question

【题目】如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝8，OB＝6，P点是第一象限内直线y＝kx+b上的一个动点（点P不与点A，B重合），点P的横坐标为m．

（1）求直线AB的解析式．

（2）C是x轴上一点，且OC＝2，求△ACP的面积S与m之间的函数关系式；

（3）在x轴上是否有在点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）S＝﹣m+12或S＝﹣3m+24（0＜m＜8）；（3）存在，点Q的坐标为：（18，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）或（，0）

【解析】

（1）由已知可得A（8，0）、B（0，6），把点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求直线AB的表达式为：y＝﹣x+6；

（2）设点P（m，﹣m+6），当点C在x正半轴时，OC＝2，AC＝4，S＝×4×（﹣m+6）＝﹣m+12；当点C在x轴负半轴时，可得：S＝﹣3m+24；

（3）设点Q（s，0），则AB2＝100，AQ2＝（8﹣s）2，BQ2＝s2+36，①当AB＝AQ时，100＝（8﹣s）2，解得：s＝18或s＝﹣2；②当AB＝BQ时，100＝s2+36，可得：s＝±8（舍去8）；③当AQ＝BQ时，（8﹣s）2＝s2+36，可得：s＝．

解：（1）∵OA＝8，OB＝6，

∴A（8，0）、B（0，6），

把点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，

∴b＝6，k＝﹣，

∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6；

（2）设点P（m，﹣m+6），

当点C在x正半轴时，OC＝2，AC＝4，S＝×4×（﹣m+6）＝﹣m+12；

当点C在x轴负半轴时，同理可得：S＝﹣3m+24，

故S＝﹣m+12或S＝﹣3m+24（0＜m＜8）；

（3）设点Q（s，0），

则AB2＝100，AQ2＝（8﹣s）2，BQ2＝s2+36，

①当AB＝AQ时，100＝（8﹣s）2，解得：s＝18或s＝﹣2；

②当AB＝BQ时，100＝s2+36，可得：s＝±8（舍去8）；

③当AQ＝BQ时，（8﹣s）2＝s2+36，可得：s＝，

综上，点Q的坐标为：（18，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）或（，0）．