Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y²－(m+3)y+(5m²－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．

Answer 1

(1) y=-x²+2x+3；(2) ；（3）t="1," (1+，2)和(1－，2).

试题分析：（1）当x=0时代入抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；
（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t²+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；
（3）根据根的判别式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．
试题解析：（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n，y=ax²+bx+3=3，
∴OC=3=n．
当y=0，
∴-x+3=0，x=3=OB，
∴B（3，0）．
在△AOC中，∠AOC＝90°，tan∠CAO=，
∴OA=1，
∴A（-1，0）．
将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，
得
，
解得：
∴抛物线的解析式：y=-x²+2x+3；
(2) 如图1，

∵P点的横坐标为t 且PQ垂直于x轴 ∴P点的坐标为(t，－t+3)，
Q点的坐标为(t，－t²+2t+3).
∴PQ=|(－t+3)－(－t²+2t+3)|="|" t²－3t |
∴；
∵d，e是y²－(m+3)y+(5m²－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，
∴△≥0，即△=(m+3)²－4× (5m²－2m+13)≥0
整理得：△= －4(m－1)²≥0，∵－4(m－1)²≤0，
∴△=0，m=1，
∴ PQ与PH是y²－4y+4=0的两个实数根，解得y₁=y₂=2
∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"
∴此时Q是抛物线的顶点，
延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，

∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，
∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，
∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，
∴在y=－x²+2x+3令y=2，得x²－2x－1=0，∴x₁=1+，x₂=1－
综上：t值为1，M点坐标为(1+，2)和(1－，2)