Question

16．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动时间为t（s）．
（1）当t=2时，求△PBQ的面积；
（2）当t为多少时，△PBQ的面积是8cm²？
（3）当t为多少时，△PBQ与△ABC是相似三角形？

Answer 1

分析 （1）用含t的代数式表示线段BP和BQ，代入t=2求得BP、BQ，利用三角形的面积计算公式求得答案；
（2）由（1）得到BP=6-x，BQ=2x，根据三角形的面积公式得出方程解答即可；
（3）要使△PBQ与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$和$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{AB}$代入求出即可．

解答 解：（1）∵点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，
∴AP=t，BQ=2t，
∴BP=AB-AP=6-t；
当t=2时，BQ=4，BP=4，
△PBQ的面积=$\frac{1}{2}$×4×4=8；

（2）由题意得$\frac{1}{2}$BP×BQ=8，
即$\frac{1}{2}$（6-t）×2t=8，
∴t₁=2，t₂=4，
答：当t为2或4秒，使△PBQ的面积为8cm²．

（3）设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一种情况：当$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$时，△PBQ与△ABC相似，
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{12}$，
解得：t=3，
第二种情况：当$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{AB}$代时，△PBQ与△ABC相似，
即$\frac{6-t}{12}$=$\frac{2t}{6}$，
解得：t=1.2．
答：当t为3或1.2秒钟，使△PBQ与△ABC相似．

点评 本题主要考查一元二次方程的实际运用，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．